GTR - Maple Tabelle

Überblick für Befehle und Maplefunktionen in der Oberstufe

Einige nützliche Maple-Befehle in Anlehnung an die Möglichkeiten des TI 84+ (von S. Müller):

1. Einige Rechenbefehle:

>5/7;

>sqrt(14);

>log[10](2);

>evalf(%,8);

>convert(81*degrees,radians); (Anmerkung: oder umgekehrt)

>Pi;

>exp(1);

2. Umgang mit Termen:

>restart; (Anmerkung: setzt alle Werte zurück)

>g1:=(x-5)^3*(x+5)*x;

>g1;

>subs(x=4,g1);

>eval(g1,x=exp(1));

>evalf(%);

>expand(g1);

>g2:=x^3-7*x^2+7*x+15;

>factor(g2);

3. Gleichungen und Gleichungssysteme lösen:

3.1 Wert für die Variable einsetzen:

>eval(g2=0,x=1);

3.2 Lösen:

>solve(g2=0);

>fsolve(g2+3,x);

3.3 Mit Parameter:

>g3:=a*x^2+b*x+c;

>solve(g3=0,x);

Oder Lösen als Matrix: Vorbreitung: Matrixoperationen zulassen:

> with(linalg):

LGS: 1*a+2*b=3 und -3*a-2*b=-1

> MA:=matrix(2,3,[1,2,3,-3,-2,-1]);

Auf Diagonale umformen:

> rref(MA);

also gilt: a=-1 und b=2

4. Gleichungssysteme:

>solve({x+y+z=a,2*x+y+z=3,x-y+2*z=0},{x,y,z});

4.1 Oder mit der Idee Matrix:

LGS: 1*a+2*b=3 und -3*a-2*b=-1

Vorbereitung: Matrixoperationen zulassen

>with(linalg):

4.2 Matrix eingeben:

>MA:=matrix(2,3,[1,2,3,-3,-2,-1]);

>MA[2,1];

Ergänzung zum Umgang mit Matrizen:

Immer das linalg-Paket aktivieren !!!!

> restart;

> with(linalg):

Matrix eingeben:

> A:=matrix([[1,2,3],[-1,2,-3],[4,5,6]]);

oder

> A:=matrix(3,3,[1,2,3,-1,2,-3,4,5,6]);

Einzelne Elemente ausgeben lassen:

> A[2,3];

Einheitsmatrix: (gleich viele Spalten wie Zeilen, nur in der Diagonalen 1-er)

> E:=matrix([[1,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]);

Addieren und subtrahieren mit evalm (und mit Linalg-Paket!):

> B:=evalm(E-A);

Multiplizieren mit &*:

> evalm(A &* A);

Die inverse Matrix bilden, z.B. B^-1: (Das geht aber nur manchmal ohne Error)

> inverse(B);

Zum Befehl rref siehe weiter oben beim Lösen von Gleichungen.

4.3 Auf Diagonalgestalt umformen:

>rref(MA);

Also gilt: a=-1 und b=2.

5. Funktionen:

>f:=x->x^2;

>f(2*a);

>plot(f(x),x=-2..3,y=-1..10);

6. Ableitungen:

>df:=D(f);

>ddf:=D(D(f));

Gleichung von Tangente an der Berührstelle x=-1:

>solve((y-f(-1))/(x-(-1))=df(-1),{y});

7. Aufleiten (Stammfunktion bilden):

>f:=x->x^3-2*x+3;

>int(f(x),x);

8. Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse zwischen den Grenzen a und b:

>int(f(x),x=-3..0);

>evalf(%,4);

9. Regression:

9.1 Lösung mit Maple 9.x

>restart;

> with(stats): with(statplots): with(plots):

Warning, these names have been redefined: anova, describe, fit, importdata, random, statevalf, statplots, transform

Warning, these names have been redefined: boxplot, histogram, scatterplot, xscale, xshift, xyexchange, xzexchange, yscale, yshift, yzexchange, zscale, zshift

Warning, the name changecoords has been redefined

>xwerte:=[1,2,4,5,6]; ywerte:=[.5,1,1.5,3,4];

>reg:=fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^3+b*x^2+cx+d]]([xwerte,ywerte]);

>f:=eval(rhs(reg));

>punkte:=scatterplot(xwerte,ywerte, color=black, symbol= cross, labels=["x","y"]):

>kurve:=plot(f,x=0..8,color=red):

>display([punkte,kurve]);

Hinweis: So lassen sich Polynom-Regressionen beliebigen Grades durchführen. Exponentielle oder sinusförmige Regressionen gehen so leider nicht!!! y=a*b^x ; ln auf beiden Seiten dieser Gleichung liefert: ln(y)=ln(a)+x*ln(b) Eine lineare Regression liefert also ln(a) und ln(b).

Ab Maple 10 wäre das Thema Regression durch den Befehl Fit im Paket Statistics sehr einfach!!!

Lösung mit Maple 14

Am Beispiel einer Gleichung dritten Grades:

restart;

with(Statistics):

X := [1, 2, 4, 5, 6];

Y := [.5, 1, 1.5, 3, 4];

Fit(a*x^3+b*x^2+c*x+d, X, Y, x);

f := convert(%, fraction);

ScatterPlot(X, Y, fit = [a*x^3+b*x^2+c*x+d, x]):gwp(%);

Das "convert(%, fraction)" dient in diesem Fall der bessern Übersicht über das Ergebnis. Man beachte die Vereinfachung im Plotbefehl!

Einen Regressionskoeffizienten wie im GTR kann Maple nicht ausgeben, behelfen kann man sich mit dem Aufruf der Option "residualmeansquare":

Fit(a*x^3+b*x^2+c*x+d, X, Y, x, output=residualmeansquare);

Je näher der so berechnete Wert an 0 liegt, desto genauer passt die errechnete Gleichung zu den Tabellenwerten.

Zip-File zum Download

Dieses ZIP enthält Worksheets zur Regression für folgende Funktionstypen:

• Geradenfunktionen
• Funktionen 2. Grades
• Funktionen 3. Grades
• Funktionen 4. Grades
• sin-Funktionen
• ExponenteialFunktionen

Download des ZIP-Files (26kB)

Worksheet zum Download

Media:Einige_Maple_Befehle.mws Mit Firefox bitte mit rechter Maustaste herrunterladen.

Arbeiten mit dem Speicher

Den Buchstaben A,B,C können beliebige Werte zugeordnet werden. Ein Beispiel verdeutlicht das Vorgehen:

>A:=5;

Die Zahl 5 wird dem Buchstaben zugeordnet mit := .

Möchte man ein Zwischenergebnis einem Speicher zuordnen, dann geht das so:

>B:=%;

Speicher zurücksetzen

restart;

Eingabe von Funktionen

y=0,37x+2,53 gibt man in Maple so ein:

y:=0.37*x+2.53;

Anstelle von Komma nimmt man Punkt.

Funktionsanalyse mit Hilfe der Prozeduren

Wertetabelle einer Funktion

Zur Darstellung einer Wertetabelle muss man die Prozedur einmailg in Maple installieren. Entsprechend der | Anleitung.

Als nächstes muss man die Prozedur mit dem Befehl

read "Prozeduren.m"; 

aufrufen.

Mit dem Befehl

> wertetabelle(y, x= 0..10);

werden alle Werte zwischen 0 und 10 ausgegeben.

Schaubild einer Funktion

> plot(y,x=0..10);

Die Funktion f wird im Bereich zwischen 1 und 10 dargestellt.

Nullstellen bestimmen

> read "Prozeduren.m";

Einbinden, wenn noch nicht eingebunden.

1. Muss die Funktion die zu bestimmen ist definiert werden.

> f:=x->3*x+2;

2. Mit diesem Befehl werden die Nullstellen der Prozedur f ermittelt. Diese werden in der Variablen Nullstellen abgespeichert.

> nullstellen(f);

3. Der Inhalt der Variablen wird aufgerufen mit:

> Nullstellen;

Schnittpunkte bestimmen

> read "Prozeduren.m";

Einbinden, wenn noch nicht eingebunden.

1. Die Funktionen f (x) und g(x) für die der Schnittpunkt bestimmt werden soll definieren.

> g:= x -> -x^2+5;

> f:= x -> -1/4*x^2+2;

2. Mit diesem Befehl werden die Schnittpunkte bestimmt:

> schnittpunkte(f,g);

Die erste Zahl in einer eckigen Klammer ist die x-Wert, die Zweite der y-Wert.

3. Beide Funktionen lassen sich wie folgt in einem Schaubild darstellen.

> plot({f(x),g(x)},x=-4..4);

Hoch und Tiefpunkte bestimmen - eine Alternative zur Prozedur

Achtung! Der hier dargestellte Weg findet Extremstellen bei trigonometrischen Funktionen nur eingeschränkt! Zur Ausgabe aller Maxima und Minima muss die Funktion mehrfach mit unterschiedlichen Bereichen angewendet werden!

restart;

Hoch und Tiefpunkte bestimmen

Zum Bestimmen von Hoch- und Tiefpunkten kann man auch die Befehle minimize und maximize benutzen. Bei dieser Möglichkeit ist es auch möglich den Bereich anzugeben.

Funktion definieren

f(x):=sin(x)+4;

plot(f(x), x=0..2*Pi);

Tiefpunkt:

Maple 9.5

minimize(f(x), x=0..2*Pi, location);

"location" dient dazu die x-Stellen zu ermitteln.

Maple 14

with(Optimization);

Minimize(f(x),x=0..2*Pi);

Maple 15

Minimize(f(x),x=0..2*Pi);

Hochpunkt:

Maple 9.5

maximize(f(x), x=0..2*Pi, location);

Maple 14

with(Optimization);

Maximize(f(x),x=0..2*Pi);

Maple 15

Maximize(f(x),x=0..2*Pi);

Übung zum Download

Media:Hoch_und_Tiefpunkte.mws

Betrag f(x) zeichnen

Der Befehl Betrag ist für Maple abs().

Also gibst du einfach deine Funktion wie folgt ein:

> f:=x->abs(2-x);

f := x -> | 2 - x |

Anschließend muss die Funktion nur noch mit plot gezeichnet werden.

> plot(f(x),x=-10..14);

Worksheet zu den Abschnitten 2. bis 5.5

Hier befindet sich das ganze noch als Worksheet zu ausprobieren.

Media:GTR.mws

Stochastik

• Fakultät: analog zur Standardschreibweise, z. B. 6!
• Binomialkoeffizient [math]\displaystyle{ n \choose k }[/math]: binomial (n,k)

Normalen mit Maple bestimmen

Was der GTR per Knopfdruck kann, ist hier als Worksheet umgesetzt. Damit wird zum Bestimmen der Normalengleichung nur noch die Funktionsgleichung und die Stelle der Normalen benötigt.

Worksheet zum Download

Wendepunkte "von Hand" bestimmen

Problemstellung: die Prozedur "Wendepunkte" liefert für trigonometrische Funktionen nur ein Ergebnis. Ursache: Maple erkennt die Periodizität der Funktion, verschweigt diese aber in der Prozedur. Deshalb der folgende Workaround:

Maple 9

1. Funktion definieren

> f:=x->1.4*sin((Pi/6.15)*(x-7))+5.2;

2. zweite und dritte Ableitung werden gebildet und als f2 und f3 in den Speicher gelegt..

> f1:=D(f):

> f2:=D(f1):

> f3:=D(f2):

3. Maple gibt die erste Stelle aus, an der die zweite Ableitung =0 ist.

> solve(f2(x)=0);

7.

4. Maple gibt dasselbe nochmal aus, hinter der Stelle steht +Faktor*_Z1, _Z1 ist der Platzhalter für jede ganze Zahl.

_EnvAllSolutions:=true;

> solve(f2(x)=0);

7.+6.150000001*_Z1

5. von Hand ausrechnen, welches Ergebnis sich für _Z1=1 (etc.) ergibt, dann hat man die Stellen der weiteren Wendepunkte.

> 7.+6.150000001*1;

13.15000000

6. heinreichende Bedingung mit f3 überprüfen (\not 0 heißt =Wendepunkt)

> evalf(f3(7));

-.1866174739

> evalf(f3(13.15));

.1866174739

7. x-Werte eingeben, um die y-Werte zu berechnen.

> f(7);

5.2

> f(13.15);

1.4*sin(.9999999999*Pi)+5.2

Worksheet zum Download

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Maple 14

1. Funktion definieren

> f:=x->1.4*sin((Pi/6.15)*(x-7))+5.2;

2. zweite und dritte Ableitung werden gebildet und als f2 und f3 in den Speicher gelegt..

> f1:=D(f):

> f2:=D(f1):

> f3:=D(f2):

3. Maple gibt die erste Stelle aus, an der die zweite Ableitung =0 ist.

> solve(f2(x)=0);

7.

4. Maple gibt dasselbe nochmal aus, hinter der Stelle steht +Faktor*_Z1, _Z1 ist der Platzhalter für jede ganze Zahl.

> solve(f2(x)=0,AllSolutions=true);

7.+6.150000001*_Z1

5. von Hand ausrechnen, welches Ergebnis sich für _Z1=1 (etc.) ergibt, dann hat man die Stellen der weiteren Wendepunkte.

> 7.+6.150000001*1;

13.15000000

6. heinreichende Bedingung mit f3 überprüfen (\not 0 heißt =Wendepunkt)

> evalf(f3(7));

-.1866174739

> evalf(f3(13.15));

.1866174739

7. x-Werte eingeben, um die y-Werte zu berechnen.

> f(7);

5.2

> f(13.15);

1.4*sin(.9999999999*Pi)+5.2

Worksheet zum Download

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