Ableiten und Integrieren
Ableiten und Integrieren (Integralrechnung)
Ableitungen D
Sicher hat mancher schon bemerkt, dass D nicht als Variable benutzt werden kann. Die Fehlermeldung von Maple meldet, dass D eine geschütze Variable ist.
In der Tat: Mit D werden die Ableitungen ermittelt. Maple gibt, was sehr geschickt ist, die Ableitungen sofort wieder als Funktionen aus.
Eingabe der Funktion f: > f:=x->2/3*x^3-2*x^2+3;
f := x -> 2/3*x^3-2*x^2+3
Bildung der ersten drei Ableitungen:
> f1:=D(f);f2:=D(f1);f3:=D(f2);
f1 := x -> 2*x^2-4*x
f2 := x -> 4*x-4
f3 := 4
Diese Variante funktioniert zwar auch bei schwierigeren Funktionen, ist dann aber u.U. umständlich. Für eine einfachere Variante siehe Ableitung
Zeichnung von f mit allen Ableitungen
plot([f(x),f1(x),f2(x),f3(x)],x=-3..5,y=-8..11,color=[black,red, blue,green]);
Bildung der Stammfunktion int
Mit int(f(x),x) wird die Stammfunktion ermittelt. Leider wird sie nicht als Funktion ausgegeben. Man muß mit dem Befehl unapply nachhelfen.
Term der Stammfunktion ermitteln:
> int(f(x),x);
1/6*x^4-2/3*x^3+3*x
Umwandeln in eine Funktion:
> F:=unapply(%,x);
F := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x
Alle Stammfunktionen von f:
> F(x)+c;Fc:=unapply(%,x);
1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c
Fc := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c
Zusatz: Bestimmung einer Stammfunktion durch P [r,s]
> r:=2:s:=5:Fc(r) = s;'c'=solve(%,c);
10/3+c = 5
c = 5/3
Integral Int (f(x),x=a..b) int(f(x),x=a..b)
Große Schreibweise: Maple schreibt das Integral symbolisch
Kleine Schreibweise: Maple berechnet den Wert des Integrals
> Int(f(x),x=a..b);
Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = a .. b)
> Stammfunktion:=int(f(x),x);
Stammfunktion := 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x
> a:=-1/2:b:=3:Int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b);
Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = -1/2 .. 3) = 189/32
Integralfunktion
> Intfunk:=unapply(int(f(x),x=a..x),x);
Intfunk := x -> 1/6*x^4+45/32-2/3*x^3+3*x
Zur Kontrolle: Wert der Integralfunktion der linken Grenze muß Null sein; der Wert der rechten Grenze muß dem gesamten Flächeninhalt entsprechen
> Intfunk(a);Intfunk(b);
0
189/32
Zeichnung von f (schwarz), Integralfunktion (blau), Integrationsgrenzen (rot):
> plot([f(x),[[a,0],[a,f(a)]],[[b,0],[b,f(b)]],Intfunk(x)],x=-5..5,y=-7..11,color=[black,red,red,blue]);
Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
> restart;
> f:=x->f(x);g:=x->g(x);
f := x -> f(x)
g := x -> g(x)
Produkt zweier Funktionen
> p:=x->f(x)*g(x);
p := x -> f(x)*g(x)
Produktregel
> p1:=D(p);
Error, (in D/_procname) too many levels of recursion
Quotient zweier Funktionen
> q:=x->f(x)/g(x);
q := x -> f(x)/g(x)
Quotientenregel
> q1:=D(q):q1(x):q1:=normal(%);
Verkettete Funktionen
> k:=x->f(x)@g(x);k(x);
k := x -> `@`(f(x),g(x))
Kettenregel
> k1:=D(k(x));