Ableiten und Integrieren

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Ableiten und Integrieren (Integralrechnung)

Ableitungen D

Sicher hat mancher schon bemerkt, dass D nicht als Variable benutzt werden kann. Die Fehlermeldung von Maple meldet, dass D eine geschütze Variable ist.

In der Tat: Mit D werden die Ableitungen ermittelt. Maple gibt, was sehr geschickt ist, die Ableitungen sofort wieder als Funktionen aus.

Eingabe der Funktion f: > f:=x->2/3*x^3-2*x^2+3;

f := x -> 2/3*x^3-2*x^2+3

Bildung der ersten drei Ableitungen:

> f1:=D(f);f2:=D(f1);f3:=D(f2);

f1 := x -> 2*x^2-4*x

f2 := x -> 4*x-4

f3 := 4

Diese Variante funktioniert zwar auch bei schwierigeren Funktionen, ist dann aber u.U. umständlich. Für eine einfachere Variante siehe Ableitung

Zeichnung von f mit allen Ableitungen

plot([f(x),f1(x),f2(x),f3(x)],x=-3..5,y=-8..11,color=[black,red, blue,green]);

Bildung der Stammfunktion int

Mit int(f(x),x) wird die Stammfunktion ermittelt. Leider wird sie nicht als Funktion ausgegeben. Man muß mit dem Befehl unapply nachhelfen.

Term der Stammfunktion ermitteln:

> int(f(x),x);

1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

Umwandeln in eine Funktion:

> F:=unapply(%,x);

F := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

Alle Stammfunktionen von f:

> F(x)+c;Fc:=unapply(%,x);

1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c

Fc := x -> 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x+c

Zusatz: Bestimmung einer Stammfunktion durch P [r,s]

> r:=2:s:=5:Fc(r) = s;'c'=solve(%,c);

10/3+c = 5

c = 5/3

Integral Int (f(x),x=a..b) int(f(x),x=a..b)

Große Schreibweise: Maple schreibt das Integral symbolisch

Kleine Schreibweise: Maple berechnet den Wert des Integrals

> Int(f(x),x=a..b);

Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = a .. b)

> Stammfunktion:=int(f(x),x);

Stammfunktion := 1/6*x^4-2/3*x^3+3*x

> a:=-1/2:b:=3:Int(f(x),x=a..b)=int(f(x),x=a..b);

Int(2/3*x^3-2*x^2+3,x = -1/2 .. 3) = 189/32

Integralfunktion

> Intfunk:=unapply(int(f(x),x=a..x),x);

Intfunk := x -> 1/6*x^4+45/32-2/3*x^3+3*x

Zur Kontrolle: Wert der Integralfunktion der linken Grenze muß Null sein; der Wert der rechten Grenze muß dem gesamten Flächeninhalt entsprechen

> Intfunk(a);Intfunk(b);

0

189/32

Zeichnung von f (schwarz), Integralfunktion (blau), Integrationsgrenzen (rot):

> plot([f(x),[[a,0],[a,f(a)]],[[b,0],[b,f(b)]],Intfunk(x)],x=-5..5,y=-7..11,color=[black,red,red,blue]);


Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel

> restart;

> f:=x->f(x);g:=x->g(x);

f := x -> f(x)

g := x -> g(x)

Produkt zweier Funktionen

> p:=x->f(x)*g(x);

p := x -> f(x)*g(x)

Produktregel

> p1:=D(p);

Error, (in D/_procname) too many levels of recursion


Quotient zweier Funktionen

> q:=x->f(x)/g(x);

q := x -> f(x)/g(x)

Quotientenregel

> q1:=D(q):q1(x):q1:=normal(%);

Verkettete Funktionen

> k:=x->f(x)@g(x);k(x);

k := x -> `@`(f(x),g(x))

Kettenregel

> k1:=D(k(x));

Beispiel: Flächen zwischen zwei Kurven

Beispiel: Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse

Media:Ableiten_und_Integrieren.mws