(06 1) Lösen von Gleichungen

Wir kommen nun zu dem (für uns) vielleicht mächtigsten Befehl von Maple: solve Maple löst (fast) alle Gleichungen, auch Lineare Gleichungssysteme oder Ungleichungen mit einem Return.

> restart;

Grundlegendes zu solve

Definition einer Gleichung, Lösung und Probe

> gl1:=3*x-5=8;

> solve(gl1);

> subs(x=%,gl1); Gleich die Probe !

Varianten im Umgang mit solve

Was rechnet Maple aus ?

> solve(3*x-5);

> solve(3*x-5=8);

> solve(3*x-5-8);

Was berechnet Maple, wenn dem Befehl solve nur ein Term übergeben wird ?

Eine Gleichung enthält mehrere Variablen

> gl2:= 4*x-a=9;

Wir versuchen die Lösung wie vorher zu erhalten. Seltsames Ergebnis ?? Oder doch nicht ?

> solve(gl2);

> solve(gl2,x);

> solve(gl2,a);

Fazit: Was ist also zu beachten ?

Quadratische Gleichungen

Erwartete Ergebnisse: Quadratische Gleichungen > gl3:=x^2+5*x-6=0;solve(gl3);

> gl4:=4*x^2-8*x-1=0;solve(gl4);evalf(%,3);

> gl5:=x^2-2*x+1=0;solve(gl5);

Ist die Lösungsangabe von gl5 nicht komisch ? > factor(gl5); Nun klar ? Nebenbei: Der Befehl factor funktioniert auch bei einer Gleichung !!

> gl6:=x^2+6*x+t=0;solve(gl6,x);

> factor(gl6);

Was macht Maple nun ? Achtung: Jetzt wird es abenteuerlich. Berechne die Lösungsmenge mit Papier und Bleistift. Was stellst du fest ?

> gl7:=2*x^2+3*x+5=0;solve(gl7);

> factor(gl7);

Hoffentlich etwas ganz Bekanntes

> QGL:=a*x^2+b*x+c=0;Mitternachtsformel:=solve(QGL,x);

Weitere Gleichungen

Grad ist höher als 2

> x^4-13*x^2+36=0;solve(%);factor(%%);

> x^3+8*x^2-9*x=0;solve(%);factor(%%);

> 2*x^6-22*x^4+36*x^2=0;solve(%);factor(%%);

> x^5-10*x^4+39*x^3-74*x^2+68*x-24=0;solve(%);factor(%%);

> (x^2+2)^2+3*(2*x+1)=(3*x+1)^2;solve(%);factor(%%);

Bruchgleichungen mit Probe

> gl8:=1/x^2+1/(2*x)=3;solve(gl8);

> subs(x=-1/2,gl8);subs(x=2/3,gl8);

> gl9 := (x+11)/(2*x+1)=(x+3)/(5+x);solve(gl9);

> subs(x=-4,gl9);subs(x=13,gl9);

> gl10:=x/a-a/x=3/2;solve(gl10,x);

> subs(x=-1/2*a,gl10);subs(x=2*a,gl10);

Wurzelgleichungen mit Probe

> gl11:=sqrt(x-2)+14=x;solve(gl11);

> subs(x=18,gl11);evalf(%);

Kleine Zusatzrechnung

> lhs(gl11)-14;LS:=%^2;rhs(gl11)-14;%^2;RS:=expand(%);

> gl12:=LS=RS;solve(%);

> subs(x=11,gl11);evalf(%);

Maple hat die Probe offensichtlich schon gemacht; wir hätten mit Papier und Bleistift auch x = 11 als Lösung gefunden. Sie hätte aber auch bei uns nicht die Probe bestanden.

Schöne Wurzeln

Maple kann schöne Wurzeln schreiben:

> gl13:=sqrt(x+sqrt(x))=30;solve(gl13);

> subs(x=%,gl13);evalf(%);

Trigonometrische Gleichungen

> solve(sin(x) = 0.75);

Später mehr.

Numerische Lösungen mit fsolve

Mit fsolve (floating) kann man Maple anweisen, gleich numerische Lösungen zu suchen:

> gl7;

Vergleiche:

> solve(gl7);

> fsolve (gl7); Es gibt keine reelle Lösung.

> 3*x^2-5*x-4;fsolve(%);

Fsolve gibt also nur reelle Lösungen an.

Lineare Gleichungssyteme (LGS)

Eindeutige Lösungen

Die Gleichungen und die Variablen, nach denen aufgelöst werden soll, müssen solve in einer Mengenklammer (Alt GR+7 bzw 0) übergeben werden.

> lg1:=5*x-2*y=24;lg2:=x+3*y=-2;

> solve({lg1,lg2},{x,y});

> lg3:=x+y+z=6;lg4:=-x+2*y-3*z=-7;lg5:=-x-4*y+2*z=-3;solve({lg3,lg4,lg5},{x,y,z});

Keine oder unendlich viele Lösungen

Es folgt eine unlösbares LGS. Maple verfährt nach dem Motto: "Keine Antwort ist auch eine Antwort".

> solve({x-2*y=-2,x-2*y=2},{x,y});

Beispiel für unendlich viele Lösungen:

> solve({x-2*y=-2,-x+2*y=2},{x,y});

Interpretiere diese Lösungsmenge. Gib 3 verschiedene Lösungspare an.

Ungleichungen

> ugl1:=x-2<3;

> solve(ugl1);

Schau dir diese Lösungsdarstellung von Maple an: Alle reellen Zahlen, die kleiner als 5 sind.

Es gibt auch eine für uns leichter lesbare Darstellung:

> solve(ugl1,{x});Die Lösungsmenge als Menge (also mit geschweiften Klammern)

> ugl2:=x^2+x-2>0;solve(ugl2,{x});Wo liegt die Parabel über der x-Achse ?

Die beiden Lösungsmengen müssen mit oder verknüpft werden. Skizziere zum besseren Verständnis die Parabel in ein Koordinatensystem.

Wir nehmen diesselbe Parabel und wollen wissen, für welche x-Werte das Schaubild unter der x-Achse liegt. Betrachte vor allem die neue Schreibweise der Lösungsmenge: Nur eine Klammer. Verknüpfung der beiden Ungleichungen mit und.

> ugl3:=x^2+x-2<0;solve(ugl3,{x});

Kopendium:

Media:06_1_Lösen_von_Gleichungen.mws

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Beispiele